每日特訓：公務員考試講義-數(shù)字運算(六）

知識點4：行程問題

1．行程問題基本公式

S=vt

2．正反比的應用

S 一定，v與t互成反比；

v（t）一定，S 與t（v）成正比。

3．平均速度

例題1．一輛汽車以60千米/時的速度從A地開往B地，它又以40千米/時的速度從B地返回A地，則汽車行駛的平均速度為多少千米/時？（ ）

A．50  B．48  C．30  D．20

【志遠快解】：答案B：套用公式可得，平均速度為2x60x40/（40+60）=48。選B

2．一次相遇

2.1相遇問題的特征

（1）兩人（物體）從不同地點出發(fā)作相向運動；

（2）在一定時間內(nèi)，兩人（物體）相遇。

與基本的行程問題相比，相遇問題涉及兩個或多個運動物體，過程較為復雜。一般借助線段圖來理清出發(fā)時間、出發(fā)地點等基本量，進而利用行程問題核心公式解題：S=（V1+V2）T。

2.1.1同時出發(fā)

例題2．兩列對開的列車相遇，第一列車的車速為10米/秒，第二列車的車速為12.5米/秒，第二列車的旅客發(fā)現(xiàn)第一列車在旁邊開過時用了6秒，則第一列車的長度為多少米？（ ）

A．60米  B．75米  C．80米  D．135米

【志遠快解】：解析：D．A、B兩地的距離為第一列車的長度，那么第一列車的長度為（10+12.5）×6=135米。

例題3．甲騎自行車從A地到B地，乙騎自行車從B地到A地，兩人都勻速前進，已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10點，兩人還相距36千米，到中午12時，兩人又相距36千米，求A、B兩地間的路程為多少千米？（ ）

A．108  B．120  C．150  D．160

【志遠快解】：答案A．解析：題干中給出了兩個時間段都是2個小時，最終求的是路程，但是速度是未知的，所以套用基本的計算公式是行不通了，這時候題干中給的兩個路程很巧妙都是一樣的，從10點到12定兩個小時內(nèi)，不僅走完了之前相距的36千米，還多走了36千米。所以相當于兩人在2個小時內(nèi)的走了72千米，則說明兩人從8點到10點走的路程和也是72千米，則AB全程就是72+36=108千米。

2.2.2不同時出發(fā)

例題4．每天早上李剛定時離家上班，張大爺定時出家門散步，他們每天都相向而行且準時在途中相遇。有一天李剛因有事提早離家出門，所以他比平時早7分鐘與張大爺相遇。已知李剛每分鐘行70米，張大爺每分鐘行40米，那么這一天李剛比平時早出門（ ）分鐘。

A．7 B．9  C．10 D．11

【志遠快解】：答案D．設每天李剛走X分鐘，張大爺走Y分鐘相遇，李剛今天提前Z分鐘離家出門，可列方程為70X+40Y=70×（X+Z－7）+40×（Y－7），解得Z=11，故應選擇D．

3．多次相遇的定義及核心公式：

（1）直線多次相遇：兩人同時相向出發(fā)并不停地在兩地間往返的過程，在此過程中兩人多次相遇。

（2）環(huán)線多次相遇：兩人同時同地背向出發(fā)并不停地繞環(huán)線進行的過程中多次相遇。

3.1．直線上兩地相向而行的多次相遇問題：

3.2環(huán)線上的多次相遇問題

兩人同時同地背向而行，每相遇一次走的路程和即為環(huán)道的長。

例題5．兩汽車同時從A、B兩地相向而行，在離A城52千米處相遇，到達對方城市后立即以原速沿原路返回，在離A城44千米處相遇。兩城市相距（ ）千米

A．200 B．150  C．120  D．100

【志遠快解】：答案D．第一次相遇時兩車共走一個全程，第二次相遇時兩車共走了兩個全程，從A城出發(fā)的汽車在第二次相遇時走了52×2=104千米，從B城出發(fā)的汽車走了52+44=94千米，故兩城間距離為（104+96）÷2=100千米。

例題6．甲、乙兩人同時從A點背向出發(fā)，沿400米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，兩人至少經(jīng)過多少分鐘才能在A點相遇？（ ）

A．10  B．12  C．13  D．40

【志遠快解】：答案D。甲、乙要在A點相遇，則甲、乙行走的路程必是400的整數(shù)倍，而甲乙的速度和是130米/分鐘，設所需時間為t，則有130t必然是400的倍數(shù)，排除A、B、C三項，選擇D。若正面求解：甲走一圈需400÷80=5分鐘；乙走一圈需400÷50=8分鐘，取5和8的最小公倍數(shù)，即40分鐘。

例題7．在一個圓形跑道上，甲從A點、乙從B點同時出發(fā)反向而行，8分鐘后兩人相遇，再過6分鐘甲到B點，又過10分鐘兩人再次相遇，則甲環(huán)行一周需要（ ）？

A．24分鐘 B．26分鐘 C．28分鐘 D．30分鐘

【志遠快解】：答案C．解析：甲、乙兩人從第一次相遇到第二次相遇，用了6+10=16分鐘。即兩人16分鐘走一圈。從出發(fā)到兩人第一次相遇用了8分鐘，所以兩人共走半圈，即從A到B是半圈，甲從A到B用了8+6=14分鐘，故甲環(huán)行一周需要14×2=28分鐘。

4．追及問題

要點提示：甲，乙同時行走，速度不同，這就產(chǎn)生了“追及問題”。假設甲走得快，乙走得慢，在相同時間（追及時間）內(nèi)：S=（V1-V2）T核心是“速度差”。

例題8．一列快車長170米，每秒行23米，一列慢車長130米，每秒行18米?？燔噺暮竺孀飞下嚨匠^慢車，共需（ ）秒鐘

A．60 B．75  C．50  D．55

【志遠快解】：答案A解析：設需要x秒快車超過慢車，則（23-18）x=170+130，得出x=60秒。

例題9．甲、乙兩地相距100千米，一輛汽車和一臺拖拉機都從甲開往乙地，汽車出發(fā)時，拖拉機已開出15千米；當汽車到達乙地時，拖拉機距乙地還有10千米。那么汽車是在距乙地多少千米處追上拖拉機的？

A．60千米 B．50千米 C．40千米 D．30千米

【志遠快解】：答案C解析：汽車和拖拉機的速度比為100：（100－15－10）=4：3，設追上時經(jīng)過了t小時，那么汽車速度為4x，拖拉機速度則為3x，則3xt+15=4xt，得xt=15，即汽車經(jīng)過4xt=60千米追上拖拉機，這時汽車距乙地100-60=40千米。

5．流水行船

要點提示：

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（順水速度+逆水速度）/2

水速=（順水速度-逆水速度）/2

例題10．一艘輪船從河的上游甲港順流到達下游的丙港，然后調(diào)頭逆流向上到達中游的乙港，共用了12小時。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小時2千米，從甲港到乙港相距18千米。則甲、丙兩港間的距離為（ ）

A．44千米 B．48千米 C．30千米 D．36千米

【志遠快解】：答案A解析：順流速度－逆流速度=2×水流速度，又順流速度=2×逆流速度，可知順流速度=4×水流速度=8千米/時，逆流速度=2×水流速度=4千米/時。設甲、丙兩港間距離為X千米，可列方程X÷8+（X－18）÷4=12 解得X=44。

知識點5：盈虧問題

1．基本公式

解盈虧問題常常用到比較法。思路是比較兩種不同的做事方法，把盈余數(shù)與不足數(shù)之和看作總差數(shù)，用每個單位的差去除，就可得到單位的數(shù)目，對本題就是栽樹的人數(shù)。我們有如下的公式：

（盈+虧）÷（每個單位的差）=單位數(shù)

（盈一盈）÷（每個單位的差）=單位數(shù)

（虧一虧）÷（每個單位的差）=單位數(shù)

例題1．若干學生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒地方住，如果每間住8人則有一間只有4人住，問共有多少名學生（ ）

A．30人 B．34人 C．40人 D．44人

【志遠快解】：答案D。解析：每間住4人，剩余20人沒地方住；每間住8人，有一間缺4人沒住滿。我們可以假設這些學生先4人一間，然后再每間加4人，那么第一次剩余的20人可以分配到20÷4=5間，還有一間只有4人，可以很容易得到房間為5+1=6間，那么總?cè)藬?shù)為6×4+20=44人。通過做這道題目，我們可以進一步總結(jié)，第一次分配人到房間是盈，第二次分配人到房間是虧，（盈+虧）÷（分配方法之差）=房間數(shù)。

例題2．單位安排職工到會議室聽報告。如果每3人坐一條長椅，那么剩下48個人沒有坐；如果每5人坐一條長椅，則剛好空出兩條長椅。聽報告的職工有多少人？

A．128 B．135 C．146 D．152

【志遠快解】：答案B。解析：每3人坐一條長椅，剩余48人；每5人坐一條長椅，缺10人沒地方坐。48+10=58人，58÷（5-3）=29條長椅，則人數(shù)=（29-2）×5=135人。當然本題還可以直接用人數(shù)能被5整除來進行判斷，選擇B。

例題3．某單位以箱為單位向困難職工分發(fā)救濟品，如果有12人每人各分7箱，其余的每人分5箱，則余下148箱；如果有30人每人各分8箱，其余的每人分7箱，則余下20箱。由此推知該單位共有困難職工（ ）

A．61人 B．54人 C．56人 D．48人

【志遠快解】：答案A。解析：本題和別的盈虧問題的區(qū)別在于，每次的救濟品分發(fā)的過程中，有一部分人的分配方法和其他人不同。對于這樣的問題，我們要做的是首先統(tǒng)一分配方法，即所有人采用相同的分配方法。第一次每人分5箱，余下148+12×2=172箱，第二次每人分7箱，余下20+30=50箱，172-50=122箱，122÷（7-5）=61人。

知識點6：容斥原理

容斥問題的常見考察方式分為二者容斥和三者容斥，根據(jù)題目所給條件總結(jié)為如下幾個公式。

二者容斥問題公式：全集=A+B+空白-A∩B

三者容斥問題公式：全集=A+B+C+空白-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C= A+B+C+空白-只含兩者-2×A∩B∩C= A+B+C+空白-至少包含兩者-A∩B∩C

對于公式大家一定要記清楚并能夠理解記憶，公式很重要，因為容斥問題的考察中絕大多數(shù)題目都是可以直接用公式法求解的，而且只要記住公式就能夠很快的解題，下面我們通過幾個例題看看具體的題目該怎么求解。

例題1．某班有50名學生，在一次測驗中有26人滿分，在第二次測驗中有21人滿分，如果兩次測驗都沒得過滿分的學生有17人，那么兩次測驗都得滿分的有多少人？（ ）

A．14  B．12  C．17  D．20

【志遠快解】：答案A。通過都題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個二者容斥的問題，要求的是兩者的交集，設為X，全集是50，空白區(qū)域是17，所以根據(jù)公式可以列出式子：50=26+21+17-X，可以算出X等于14，故選擇A答案。

例題2．某高校對一些學生進行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調(diào)查的學生共有多少人？（ ）

A．120 B．144 C．177  D．192

【志遠快解】：答案A。通過題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個三者容斥問題，要求的全集的大小。集合A可以看成是63，集合B可以看成是89，集合C可以看成是47，只含兩者的是46，三者的交集是24，空白區(qū)域是15，所以列式為：全集=63+89+47+15-46-2×24=120，故選擇A選項。

例題3．某服裝公司就消費者對紅、黃、藍三種顏色的偏好情況進行市場調(diào)查，共抽取了40名消費者，發(fā)現(xiàn)其中有20人喜歡紅色、20人喜歡黃色、15人喜歡藍色，至少喜歡兩種顏色的有19人。喜歡三種顏色的有3人，問三種顏色都不喜歡的有幾人？（ ）

A．1  B．3  C．5  D．7

【志遠快解】：答案D。通過題目可以發(fā)現(xiàn)這是一個三者容斥問題，要求的是空白區(qū)域，可以設為X，全集為40，集合A是20，集合B是20，集合C是15，至少包含兩者的是19，三者的交集是3，根據(jù)公式可以列式為：40=20+20+15+X-19-3，可以解出X等于7，所以選擇D選項。

[隨堂練習三]

1．一件商品，進貨價80 元，原定價150元，結(jié)果打8折出售。問：

（1）實際售價是多少？

（2）實際利潤率是多少？

2．一件商品相繼兩次分別按折扣率為10%和20%進行折扣，已知折扣后的售價為540元，那么折扣前的售價為（ ）。

A．600 元 B．680 元 C．720 元 D．750 元

3．一種衣物過去每件進價是60元，賣掉后每件的毛利潤是40元，現(xiàn)在這種衣物的進價降低，為了促銷商家將衣物八折出售，毛利潤卻比過去增加30%，現(xiàn)在每件進價為多少元？（ ）

A．36 B．28 C．40 D．4

4．某商品若按原價銷售，每件可獲利60 元；現(xiàn)在降價銷售，結(jié)果該商品的銷售量增加了一倍，獲得的總利潤增加了0.5 倍，則每件商品降價（ ）。

A．10 元 B．15元 C．20元 D．25 元

5．某班共有30 人，其中有22 人喜歡美術課，25 人喜歡體育課，兩種課程都喜歡的有18人。問：

（1）不喜歡美術課的有幾人？

（2）不喜歡體育課的有幾人？

（3）兩種課程都不喜歡的有幾人？

6．電視臺向100個人調(diào)查昨天收看電視情況，有62人看過一頻道，有34 人看過六頻道，有11人兩個頻道都看過。問：兩個頻道都沒有看的人有多少人？（ ）

A．4 B．15 C．17 D．25

7．全班有46名同學，僅會打乒乓球的有18人，會打乒乓球又會打羽毛球的有7人，不會打乒乓球又不會打羽毛球的有6 人。問：僅會打羽毛球的有多少人？（ ）

A．13 B．14 C．15 D．16

8．對39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進行調(diào)查，結(jié)果如下：含甲的有17種，含乙的有18種，含丙的有15 種，含甲、乙的有7 種，含甲、丙的有6 種，含乙、丙的有9 種，三種維生素都不含的有7種，則三種維生素都含的有多少種？（ ）

A．4 B．6 C．7 D．9

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